7ème École d'Hiver en Dynamiques d'Aussois
9 - 13 décembre
La jeunesse rejoint l'équipe d'organisation !
Nous étudierons la dynamique des germes d’applications holomorphes tangentes à l'identité en un point fixe isolé. Après avoir brièvement passé en revue les résultats classiques unidimensionnels, je me concentrerai sur la dynamique en dimension deux. Selon le temps nous parlerons de courbes paraboliques, domaines paraboliques, domaines spiralants, domaines errants, implosion parabolique.
La variété des caractères SL_2 d'une surface est une variété algébrique affine sur laquelle le groupe modulaire agit naturellement et qui contient l'espace de Teichmüller. Mieux, les multicourbes sur la surface forment une base de son algèbre de fonctions. J'expliquerai comment dans ce contexte, on peut construire simplement la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller et comprendre la dynamique algébrique des éléments pseudo-anosov du groupe modulaire. J'introduirais le vocabulaire des valuations, ainsi que les actions sur les arbres réels au fur et à mesure. Ce minicours est librement inspiré de travaux communs avec Christopher-Lloyd Simon.
Les applications twist sont des systèmes dynamiques qui apparaissent dans une large classe de systèmes, comme les billards, les flots géodésiques sur des tores riemanniens de dimension 2, le modèle de Frenkel-Kontorova … Nous allons décrire la structure variationnelle associée à ces applications et nous allons introduire les ensembles d’Aubry-Mather, qui sont des ensembles d’orbites qui minimisent une certaine fonctionnelle d’action. Nous certaines applications dynamiques remarquables.
Je vais parler de classifications topologique et
géométrique(s) des germes d'ensembles algébriques dans R^n ou C^n.
Pas d’inquiétude, ce sera à la fois
- accessible car j’irai doucement
et je donnerai plein d’exemples en petite dimension, et
- spectaculaire car je tenterai un grand écart (est-ce raisonnable à mon âge ?) :
il y aura des ingrédients de topologie en basse dimension (théorie des
noeuds, notamment), de géométrie algébrique, et de géométrie
non-archimédienne.
On introduira des problèmes de comptage d'orbites de courbes et d'arcs pour l'action du Mapping class group dans les surfaces hyperboliques. L'objectif de cet exposé est de voir comment ces problèmes peuvent être traduit en terme de comptage de points entiers et résolus grâce à l'étude de mesures de comptage. Pour ce faire, on introduira les notions de laminations mesurées et de courants géodésiques sur les surfaces et on s'intéressera à la mesure de Thurston sur ces espaces.
En géométrie différentielle, la formule de Poincaré-Hopf relie la caractéristique d'Euler d'une variété compacte aux indices des points critiques d'une fonction de Morse sur cette variété. En généralisant la notion d'indice, on peut obtenir une version de cette formule dans le cadre non lisse des ensembles semi-algébriques compacts. Après avoir introduit la notion d'ensemble semi-algébrique, présenté la formule dans ce cadre et donné des exemples, on verra que l'on peut même obtenir une version de cette formule pour un ensemble semi-algébrique fermé non compact. On utilisera ensuite cette dernière formule pour obtenir une formule de type Gauss-Bonnet sur les ensembles semi-algébriques fermés, ainsi que d'autres formules dites "cinématiques" si le temps le permet.
Certaines variétés complexes possèdent un groupe d'automorphismes avec une dynamique "riche". On s'intéressera au cas du plan affine C^2. La structure de ce groupe est relativement bien comprise depuis les travaux de Jung: on sait notamment qu'il agit par isométries sur un arbre. Les applications de Hénon sont des exemples d'automorphismes du plan avec une dynamique riche. Cantat et Dujardin ont récemment étudié la dynamique de marches aléatoires dans le groupe d'automorphismes de surfaces compactes. On essaiera de décrire ce qu'il se passe dans le cas d'une dynamique aléatoire sur le plan complexe.
En 1993, Basmajian introduit l'orthospectre : l'ensemble des longueurs des orthogéodésiques d'une surface hyperbolique à bord. Nous nous posons la question "Est ce que l'orthospectre détermine une surface hyperbolique à isométrie près ?". Masai et McShane ont répondu négativement à la question en 2023, mais ils ont tout de même apporté un résultat de rigidité dans le cas des surfaces hyperboliques à 1 composante de bord. D'un autre côté, les surfaces hyperboliques vivent dans l'espace de Teichmüller habituellement décrit à l'aide des coordonnées de Fenchel-Nielsen. Dans cet exposé, nous verrons comment nous pouvons utiliser un autre système de coordonnées pour étudier la rigidité de l'orthospectre et de l'orthospectre simple des surfaces hyperboliques à bord : les coordonnées de Ushijima.
| Date | Time | Event |
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9
Lundi
Décembre, 2024
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9:30 - 10:30 |
Anne Pichon
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| 11:00 - 12:00 |
Anna Florio
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| 14:30 - 15:30 |
Jasmin Raissy
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| 16:00 - 17:00 |
Marie Trin
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10
Mardi
Décembre, 2024
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9:30 - 10:30 |
Julien Marché
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| 11:00 - 12:00 |
Anna Florio
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| 14:30 - 15:30 |
Anne Pichon
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| 16:00 - 17:00 |
Arnaud Nerriere
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11
Mercredi
Décembre, 2024
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9:30 - 10:30 |
Jasmin Raissy
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| 11:00 - 12:00 |
Julien Marché
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| 14:00 - 20:00 |
Free afternoon
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| 19:30 - |
Fondue !
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12
Jeudi
Décembre, 2024
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9:30 - 10:30 |
Anne Pichon
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| 11:00 - 12:00 |
Anna Florio
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| 14:30 - 15:30 |
Julien Marché
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| 16:00 - 17:00 |
Thibault Chailleux
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13
Vendredi
Décembre, 2024
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9:15 - 10:15 |
Jasmin Raissy
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| 10:45 - 11:45 |
Nolwenn Le Quellec
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La conférence se déroulera au Centre Paul Langevin.
Le nombre de participant.e.s étant limité, la priorité est donnée aux étudiant.e.s en thèse et postdoc.
Pour vous inscrire, envoyez un mail à un.e des organisateur.ice.s :
Pour accéder au centre, il faut venir en train jusqu'à la gare de Saint-Jean-de-Maurienne, puis prendre le bus ou le taxi.
Nous affrétons un bus pour le dimanche soir à 19h, dites nous si vous comptez le prendre. Diner au centre à 20h.
