In hyperbolic dynamics (Anosov) each trajectory is strongly unstable and its behavior is unpredictable. A smooth probability distribution evolves also in a complicated way since it acquires higher and higher oscillations. Nevertheless using micro-local analysis, this evolution is predictable in the sense of distributions. In this series of lectures we will use wave-packet (or wavelet) transform and explain how to derive some spectral properties of the dynamics that describe this predictable behavior, as the existence of the intrinsic discrete spectrum of Ruelle. This spectrum governs the decay of correlation expansions and may be used to deduce statistical properties of the flow. It is directly related to the periodic orbits through the Atiyah-Bott trace formula and dynamical zeta functions.
Les propriétés statistiques d'un système dynamique peuvent souvent être abordées grâce à l'étude de son opérateur de transfert. En faisant agir cet opérateur sur des espaces adéquats, son spectre révèle alors des informations importantes sur la dynamique, comme par exemple la vitesse de mélange. Nous verrons dans ce mini-cours comment construire géométriquement ces espaces, et calculer le spectre. Nous appliquerons ces méthodes à plusieurs exemples concrets.
Je commencerai par présenter des résultats sur la dynamique du flot horocyclique sur les fibrés unitaires de surfaces s hyperboliques. En un deuxieme temps, je m’intéresserai au flot horocyclique feuilleté sur des variétés feuilletées en surfaces hyperboliques. Je privilégierai les suspensions.
Ce mini-cours portera sur différentes propriétés ergodiques et théorèmes limites de systèmes dynamiques préservant une mesure infinie (récurrence, ergodicité, récurrence quantitative, temps de retour, mélange, théorème central limite). Nous nous intéresserons au cas des Z^d-extensions et verrons comment, dans ce cadre, ces différentes propriétés en mesure infinie sont reliées aux propriétés stochastiques du système probabilisé sous-jacent. L'exemple central sera le gaz de Lorentz Z^2-périodique, mais d'autres exemples seront également considérés, de nature géométrique (flots géodésiques sur des surfaces Z^2-périodiques à courbure pincée) ou probabiliste (promenades aléatoires en paysage aléatoire).
The unique ergodicity of the horocyclic flow of a negatively curved compact surface is a well-known classical result. In my talk, I will present a generalisation of this result to nonpositive curvature in two situations: under the assumption that the surface has no flat cylinders, or by restricting the domain of the horocyclic flow. I will also talk about the equidistribution of horospheres under the action of the geodesic flow, and how it helps to prove the unique ergodicity of the horocyclic flow.
Un flot d’Anosov est un flot uniformément hyperbolique sur la variété (fermée) qui le porte. Les exemples fondamentaux en dimension 3 sont les suspensions linéaires hyperboliques du tore et les flots géodésiques sur le fibré unitaire tangent d’une surface hyperbolique. Handel et Thurston créent un nouvel exemple de flot d’Anosov en opérant une chirurgie et un recollement sur un flot géodésique, qui n’est pas conjugué aux exemples précédents. Cet exposé a pour but de présenter un procédé général de construction de flots d’Anosov en dimension 3 qui généralise l’exemple de Handel-Thurston, et d’en expliquer les motivations.
Le but de cet exposé sera d'expliquer la très jolie construction récente par Koike et Uehara de surfaces K3, une classe très importante de surfaces complexes. Cette construction repose sur une sorte de processus de chirurgie, possible sous une hypothèse diophantienne grâce au théorème de linéarisation d'Arnol'd issu de la théorie de la linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes unidimensionnels. Si le temps le permet, j'expliquerai comment les idées de Verbitsky sur les « structures complexes ergodiques » permettent d'utiliser cette construction pour montrer qu'en un certain sens, « presque toute » surfaces K3 contient une infinité d'hypersurfaces Levi-plates linéaires, une classe intéressante d'hypersurfaces dans les variétés complexes.
In 2013, Rossi proves that if a maximal globally hyperbolic (abbrev. GHM) conformally flat spacetime has two distinct homotopic lightlike geodesics with the same ends then it is a finite quotient of the Einstein universe. In this case, the ends of such lightlike geodesics are said to be conjugate. In the continuity of this result, I am interested in describing GHM conformally flat spacetimes with complete lightlike geodesics (i.e. which develop as lightlike geodesics joining two conjugate points in the Einstein universe). In this talk, I will describe an example of such spacetimes, that I call a Misner domain of the Einstein universe. Under some hypothesis, I prove that the universal covering of a MGH conformally flat spacetime with complete lightlike geodesics contains a Misner strip. The goal would be to prove that any MGH Cauchy compact conformally flat spacetime can be obtained by grafting (or removing) a Misner strip from another one. This would be the Lorentzian analogous of the operation of grafting on hyperbolic surfaces introduced by Thurston.
| Date | Time | Event |
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13
Lundi
Décembre, 2021
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9:30 - 10:30 |
Françoise Dal'bo
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| 11:00 - 12:00 |
Erwan Lanneau
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| 14:00 - 15:00 |
Françoise Pène
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| 15:30 - 16:30 |
Sergi Burniol Clotet
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14
Mardi
Décembre, 2021
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9:30 - 10:30 |
Frédéric Faure
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| 11:00 - 12:00 |
Erwan Lanneau
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| 14:00 - 15:00 |
Françoise Dal'bo
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| 15:30 - 16:30 |
Rym Smai
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15
Mercredi
Décembre, 2021
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9:30 - 10:30 |
Françoise Pène
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| 11:00 - 12:00 |
Frédéric Faure
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| 14:00 - 20:00 |
Free afternoon
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| 20:00 - |
Fondue !
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16
Jeudi
Décembre, 2021
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9:30 - 10:30 |
Françoise Dal'bo
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| 11:00 - 12:00 |
Erwan Lanneau
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| 14:00 - 15:00 |
Frédéric Faure
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| 15:30 - 16:30 |
Neige Paulet
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17
Vendredi
Décembre, 2021
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9:30 - 10:30 |
Françoise Pène
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| 11:00 - 12:00 |
Félix Léquen
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La conférence se déroulera au Centre Paul Langevin.
Le nombre de participants étant limité, la priorité est donnée aux étudiants en thèse et postdoc.
Pour vous inscrire, envoyez un mail à un des organisateurs :
Pour accéder au centre, il faut venir en train jusqu'à la gare de Modane, puis prendre le bus ou le taxi sur 20km.
Cette année nous dînerons à Aussois. Nous avons réservé un bus pour partir de Modane à 19h.
