Conférence en l'honneur du 30ème anniversaire d'Adrien Boulanger.

Dynamique de Reeb et chirurgie de contact Anne Vaugon

Les chirurgies legendriennes sont des opérations fondamentales en géométrie de contact et en géométrie symplectique. L'objectif de ce mini-cours est d'étudier l'effet de ces opérations sur la dynamique de champs de vecteurs associés aux structures de contact et appelés champs de Reeb. J'expliquerai une construction de flot de Reeb Anosov due à Foulon et Hasselblatt et basée sur la chirurgie legendrienne en dimension 3 ainsi que des résultats généraux de Bourgeois, Ekholm et Eliashberg décrivant les orbites périodiques du champ de Reeb (et bien plus encore) après chirurgie legendrienne en dimension quelconque. Je rappellerai toutes les définitions nécessaires en géométrie de contact et en géométrie symplectique.

Flots et surfaces transverses en dimension 3 Pierre Dehornoy

Etant donné un champ de vecteurs sur une variété de dimension 3, la donnée d'une surface partout transverse est utile pour l'étude de la dynamique, puisque, si elle coupe toutes les orbites du flot induit, elle peut ramener l'étude dudit flot à celle d'une application de premier retour. La théorie de Schwartzman-Sullivan-Fried donne un critète très élégant pour l'existence de telles sections globales. On expliquera ce critère, puis on étudiera son extension pour l'existence de surfaces à bord, lesquelles ont l'avantage d'exister bien plus souvent. Il sera donc question de flots, de mesures invariantes, d'homologie, d'enlacement.

Dynamique grossièrement conforme Peter Haïssinsky

On s'intéresse à la dynamique de revêtements ramifiés sur la sphère de dimension 2 qui jouissent de propriétés d'expansion. On montre que ces applications préservent une structure conforme grossière, les rapprochant ainsi de la dynamique des fractions rationnelles de la sphère de Riemann.
Selon le temps, on pourra étudier leurs mesures invariantes et/ou établir des caractérisations des fractions rationnelles parmi cette classe de systèmes dynamiques.
Ces exposés sont issus de travaux obtenus en partie avec Kevin Pilgrim.

Quelques résultats de rigidité pour les billards et les flots géodésiques Martin Leguil

La dynamique d’un billard circulaire est bien comprise. Si l’on remplace le cercle par une ellipse, des phénomènes plus compliqués apparaissent, mais une description assez précise reste possible. On peut se demander lesquels caractérisent la géométrie du billard ; en particulier, que se passe-t-il lorsque l’on déforme le bord ? Une formulation de cette question est liée à la conjecture de Birkhoff, selon laquelle les seuls billards intégrables sont les ellipses ; on parlera des travaux de Avila-De Simoi-Kaloshin et Kaloshin-Sorrentino relatifs à la conjecture de Birkhoff. Une autre direction concerne l’information contenue dans le spectre des orbites périodiques, notamment si ce dernier suffit à caractériser la forme du billard. On parlera de différents résultats récents autour de la rigidité spectrale des billards, dans le cas convexe (notamment l’article de De Simoi-Kaloshin-Wei) mais aussi dans le cas de billards dispersifs ouverts. Si le temps le permet, on discutera de résultats parallèles obtenus dans le cas des flots géodésiques (notamment les travaux de Otal-Croke, et Guillarmou-Lefeuvre).